Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung erlaubt es, die Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt bestimmter Ereignisse zu berechnen. Sie fällt in den Bereich der Stochastik und umfasst verschiedene Berechnungsmodelle, die je nach Problemstellung anzuwenden sind. Zwei der wesentlichen Elemente, um einfachere Zufallsmodelle zu ermitteln, sind das Laplace-Experiment und die bedingte Wahrscheinlichkeit, die nachfolgend näher vorgestellt werden.

Mathematische Darstellung von Wahrscheinlichkeiten

Wie groß die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines bestimmten Ereignisses bemessen ist, kann auf ganz unterschiedlichem Wege dargestellt werden. Es gibt drei Möglichkeiten der Darstellung. Ein kurzes Beispiel soll die Möglichkeiten vorstellen und veranschaulichen.

Angenommen es wird eine Münze geworfen, die auf der einen Seite eine Zahl, auf der anderen Seite den Kopf aufweist. Die Münze kann nicht auf der Kante sondern nur auf den Flächen landen und aufliegen. Es gibt also nur zwei mögliche Ergebnisse, Kopf oder Zahl.
Die mathematische Darstellung kann wie folgt erfolgen: 1 : 2 (Ein Wurf, zwei Möglichkeiten)

Gerne werden Wahrscheinlichkeiten ins Verhältnis zur Zahl 100 gesetzt. Im diesem Fall würde die Wahrscheinlichkeit wie folgt aussehen (letztlich ist dies jedoch nur eine Umformung): 50 : 50

Eine weitere Darstellungsmöglichkeit besteht darin, die Schreibweise per Bruch zu wählen.
1 : 2 würde dann lauten: 1 / 2. Der Bruch kann auch aufgelöst und als Dezimalzahl angegeben werden: 0,5

Das Laplace-Experiment

Der Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung erfolgt meist über das sogenannte Laplace-Experiment. Es definiert einen vergleichsweise simplen Fall: Es sind mehrere Ereignisse möglich, die allesamt mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können. Hierzu zählt auch das vorherige Beispiel mit der Münze: Zahl oder Kopf haben die gleiche Chance einzutreten. Ein weitere Beispiel ist das Würfeln: Die Würfelzahlen von 1 bis 6 haben bei jedem einzelnen Wurf dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit.
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit unter solchen Bedingungen ist daher ganz einfach. Die Wahrscheinlichkeit P wird mit 1 durch n angegeben. Die Variable n gibt dabei die Anzahl der Möglichkeiten an. Bei einem Würfel mit 6 Möglichkeiten wird die Wahrscheinlichkeit wie folgt bestimmt: P = 1 / 6

Die bedingte Wahrscheinlichkeit

Ein wenig komplexer ist die bedingte Wahrscheinlichkeit. Von ihr ist die Rede, wenn mehrere Ereignisse voneinander abhängig eintreten. In anderen Worten: Man ermittelt die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A unter der Voraussetzung, dass Wahrscheinlichkeit B eintritt.
Beispiel: 50 Prozent der Personen in einem Raum sind weiblich. 20 Prozent aller Frauen haben schwarzes Haar. Wenn man eine Person per Zufall auswählt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Frau mit schwarzem Haar handelt?

Die Lösung:
50 Prozent der Frauen sind weiblich -> w1 (weiblich) = 0,5
20 Prozent der Frauen haben schwarze Haare -> w2 (schwarzes Haar) = 0,2

Weiblich und schwarze Haare -> w1 * w2 = 0,5 * 0,2 = 0,1

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 0,1 oder auch 10 Prozent.


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