Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras fällt in den Bereich der Geometrie, genauer gesagt der Trigonometrie (Dreiecksberechnung). Die Bezeichnung ist auf den griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras zurückzuführen, der sich u.a. mit mathematischen Problemen rund um die Berechnung von Dreiecken beschäftigt haben soll. Allerdings ist geschichtlich nicht bewiesen, dass es tatsächlich Pythagoras war, der diesen mathematischen Satz entdeckt und bewiesen hat.

Mithilfe des Satzes des Pythagoras ist es möglich Dreiecke zu berechnen. Genau genommen werden die Quadrate der Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken berechnet. Dies ist ein wichtiger Punkt: Der mathematische Satz darf ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke angewendet werden. Bei anderen Dreiecken führt die Rechenmethode nicht zum Ziel.

Formel

Es ist nicht schwer, mit dem Satz des Pythagoras zu rechnen. Die Formel lautet des Satzes lautet wie folgt:

a2 + b2 = c2

In Worten ausgedrückt bedeutet die Formel: Die Summe der Quadrate von den Dreieckseiten a und b entspricht dem Quadrat der Dreieckseite c.

Anwendung

Wichtig ist die korrekte Bestimmung der Dreieckseiten. Die Seiten a und b sind jeweils die Seiten, die direkt am rechten Winkel des Dreiecks anliegen. Sie werden auch als Katheten bezeichnet. Gegenüber dem rechten Winkel befindet sich die sogenannte Hypothenuse, die letztlich als Variable c heranzuziehen ist. Sollten Katheten und Hypothenuse falsch bestimmt werden, so stimmt das Ergebnis später nicht.
Ein wichtiger Punkt ist außerdem die Berücksichtigung der Quadrate. Es dürfen nicht einfach die Seiten a und b addiert werden, um somit die Seitenlänge von c zu ermitteln. Stattdessen muss jeweils mit den Quadraten der Flächen gerechnet werden. Das Quadrat einer Dreiecksseite ist einfach zu ermitteln: a2 ist nichts anderes als a * a.

Wenn a und b bekannt sind und man über den Satz des Pythagoras c2 ermittelt hat, darf nicht vergessen werden, die Wurzel aus dem Ergebnis zu ziehen. Die Wurzel von c² führt letztlich zum Wert von c.
Ein Umstellen des Satzes ist natürlich jederzeit erlaubt. Sollten beispielsweise die Längen der Dreiecksseiten a und c bekannt sein, so kann problemlos die Länge von b errechnet werden. Die Formel a2 + b2 = c2 wird in diesem Fall nach c2 - a2 = b2 umgestellt.

Beispielrechnung

Über ein rechtwinkliges Dreieck ist bekannt, dass die Katheten a und b genau 3 cm und 5 cm lang sind. Die Ermittlung der Seitenlänge der Hypotenuse c sieht wie folgt aus:

a2 + b2 = c2

Einsetzen:

32 + 42 = c2

Umformen:

9 + 16 = c2
25 = c2

Nun die Quadratwurzel ziehen:

5 = c --> Die Seitenlänge der Hypothenuse beträgt 5 cm.


Weitere Mathematik Referate

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