Primzahlen

In der Mathematik beschäftigt man sich bereit seit tausenden von Jahren mit den Primzahlen. Sie ziehen ein großes Interesse der Mathematiker auf sich, was an ihren Besonderheiten liegt. Sie verfügen über Eigenschaften, die andere Zahlen nicht aufweisen. Zunächst einmal gilt es zu berücksichtigen, dass ausschließlich natürliche Zahlen auch Primzahlen sein können. Natürliche Zahlen sind Zahlen, die größer als Null sind und außerdem als Ganzzahlen gelten. Die zweite Eigenschaft ist jedoch von noch größerer Bedeutung: Eine Primzahl ist ausschließlich durch 1 sowie durch sich selbst teilbar.

Definition von Primzahlen

Die genaue Definition der Primzahlen lautet: Primzahlen sind nicht als Produkt von zwei Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellbar. In anderen Worten: Primzahlen lassen sich nicht aus anderen Zahlen heraus multiplizieren.

Eine weitere Definition, die ebenfalls zutrifft, besagt: Eine Primzahl ist ausschließlich durch zwei natürliche und zugleich verschiedene Zahlen teilbar. Anhand dieser zweiten Definition wird deutlich, weshalb die 1 keine Primzahl ist. Es fehlt nämlich die zweite Zahl, durch die sie teilbar wäre. Die ersten Primzahlen lauten daher 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 usw.

Die Jagd nach Rekordprimzahlen

Bei kleinen Zahlen gestaltet sich die Überprüfung noch relativ einfach. Je größer die Zahlen werden, desto aufwendiger wird eine Überprüfung dahingehend, ob es sich bei einer Zahl um eine Primzahl handelt. Deshalb befinden sich Mathematiker auch bereits seit Jahrhunderten auf der Jagd nach der sogenannten Rekordprimzahl. Dies ist die größte bisher bekannte Primzahl, bei der ein Beweis darüber, dass es sich wirklich um eine Primzahl handelt, sicher erbracht werden kann.

Die aktuell bekannte Rekordprimzahl wurde im Jahr 2008 von den drei Wissenschaftlern Smith, Woltman und Kurowski ermittelt und lautet: 243112609 -1
Diese Rekordzahl wurde mit Hilfe eines Supercomputers ermittelt und zugleich überprüft. Würde man die Primzahl ausschreiben, so wäre sie ganze 12.978.189 Stellen lang.

Primzahlen in der Mathematik

Primzahlen bringen wie bereits erwähnt gewisse Besonderheiten mit sich. Hierzu zählt zunächst einmal die Primfaktorzerlegung. Diese besagt, dass jede Ganzzahl, die größer als 1 ist, als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Ein paar einfache Beispiele sollen dies verdeutlichen.

Nicht-Primzahl 14 = 2 * 7
Nicht-Primzahl 15 = 3 * 5
Nicht-Primzahl 18 = 2 * 3 * 3

Eine weitere mathematische Besonderheit der Primzahlen macht das „Lemma von Euklid“ deutlich. Es besagt: Ist ein Produkt von zwei natürlichen Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch die Primzahl teilbar.

 

 

 

 

 

 

 

 


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