Mengenlehre in der Mathematik

Die Mathematik übernimmt aus der Umgangssprache Wörter für die Bezeichnung mathematischer Begriffe. Dabei erhalten die Wörter spezielle, für die Mathematik eingeengte oder veränderte Bedeutungen. Eine Verwandtschaft des umgangssprachlichen Begriffs mit dem mathematischen Begriff ist manchmal nur noch mit Mühe zu erkennen.

Auch das Wort Menge in der Mathematik ist aus der Umgangssprache für einen mathematischen Begriff übernommen worden. Das Element wird als Fremdwort in der Umgangssprache und als Fachwort in mehreren Fachsprachen zum Beispiel in der Chemie mit unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Wenn wir irgendwelche einzelne und zu unterscheidende Gegenstände in Gedanken zusammenfassen, so erhalten wir eine Menge im mathematischen Sinn. Die Gegenstände selber, die die Menge bilden, werden die Elemente der Menge genannt. Das Wort Gegenstand wird hier in einem sehr weiten Sinn benutzt, wir wollen darunter alles verstehen, was wir zum Gegenstand von Betrachtungen, Erörterungen und Handlungen machen können.

Die Menge der Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8 Die Menge, die aus den Gegenständen Karl, 1, Auto, Zahl, a, Müll, London, Name, Kunst gebildet wird. Die Menge die aus der geraden Zahlen, die kleiner als 20 sind. Die Menge der natürlichen Zahlen, die die Zahl 16 ohne Rest teilen. Um über verschiedene Mengen kurz sprechen oder schreiben zu können, ohne jedes mal die Festlegung der Mengen wiederholen zu müssen, ist folgende Vereinbarung üblich: Zur Bezeichnung in der Mathematik von Mengen werden große Buchstaben des lateinischen Alphabets benützt. Mit dieser Vereinbarung und mit Hilfe weiterer verabredeter Zeichen ist es später möglich, sehr kurz gefasste Aussagen über Mengen oder Gegenstände und Mengen zu machen. Wir geben also der Menge die aus den Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8 besteht, die Bezeichnung Menge B, Menge C und Menge D. Die Mengen A;B;C und D sind auf zwei verschiedene Arten angegeben. 1. Für die Mengen A und B sind die einzelnen Elemente der Mengen genannt. Bei der Menge B ist auffallend, dass sehr verschiedenartige Gegenstände zu einer Menge zusammengefasst worden sind. 2. Die Mengen C und D sind dadurch festgelegt worden, dass gemeinsame Eigenschaften ihrer Elemente genannt sind. Für jeden Gegenstand lässt sich auf Grund der angegebenen Eigenschaften, die die Elemente der Menge C haben sollen, entscheiden, ob er zur Menge C gehört oder nicht. So kann zum Beispiel Hamburg nicht von Element C sein, weil Hamburg keine Zahl ist.

Aber auch Zahlen in der Mathematik wie -2 oder 3/4 sind nicht Elemente von C, weil sie keine natürlichen Zahlen sind. Auch die 1 ist nicht Element von C, obwohl 1 eine natürliche Zahl und kleiner als 20 ist, aber 1 ist keine gerade Zahl. Dagegen ist die 2 ein Element von C, weil 2 eine gerade Zahl und kleiner als 20 ist. So kann man fortfahren bis man zur Zahl 20 kommt. Es ergibt sich also, dass die Menge C die Menge mit den Elementen 2,4,6,8,10,12,14,16,18 ist. Auch für die Menge D können die Elemente auf Grund der Festlegung von D genannt werden, denn von jedem Gegenstand lässt sich wieder entscheiden, ob er die genannte Eigenschaft besitzt oder nicht. Für jede Mengen A,B,C und D steht also eindeutig fest, welche Gegenstände zu ihr gehören. Damit ist dann auch für jede Menge klar, dass alle anderen Gegenstände nicht zu ihr gehören.


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